Kategória: O pravdepodobnostiach

V minulosti som na tipujeme.org ponúkal viacero nástrojov vrátane nástrojov na výpočet pravdepodobností rôznych výhier. Väčšina tipujúcich si ale nebola ochotná priznať, že pravdepodobnosť výhry v hre Loto je tak nízka, že sa neoplatí túto hru hrať. Z dlhodobého hľadiska sú tieto pravdepodobnosti proti tipujúcim a tipujúci nutne skončí v strate. Aby som tento problém vysvetlil, uvediem zopár príkladov.

Príklad 1

Predpokladajme, že tipujúci tipuje vždy 1 stĺpec a že týždenne sa konajú 2 žrebovania. Zaujíma nás, aká je pravdepodobnosť výhry jackpotu v prvom alebo v druhom ťahu hry Loto za 30 rokov takéhoto tipovania.

Riešenie príkladu 1:

Pre výpočet pravdepodobnosti výhry jackpotu v prvom alebo v druhom ťahu hry Loto za 30 rokov, najprv potrebujeme vypočítať pravdepodobnosť výhry jackpotu v každom ťahu.

V hre Loto je celkovo 49 čísel a hráč tipuje 1 stĺpec z týchto čísel. Pre výhru jackpotu musí hráč uhádnuť všetkých 6 vyžrebovaných čísel.

Pravdepodobnosť výberu 6 správnych čísel z 49 je kombinačným číslom, ktoré môžeme vypočítať vzorcom pre kombinácie bez opakovania:

Kombinačné číslo bez opakovania je definované ako:

kde n je počet prvkov celkového súboru (49 čísel) a k je počet prvkov výberu (6 správnych čísel).

Pre každý ťah je táto pravdepodobnosť rovnaká.

Po výpočte pravdepodobnosti výhry jackpotu v jednom ťahu, môžeme vypočítať pravdepodobnosť výhry jackpotu v oboch ťahoch v priebehu 30 rokov. Keďže sa každý týždeň konajú 2 žrebovania, v jednom roku je 52 týždňov, teda za 30 rokov to bude 1560 žrebovaní.

Pravdepodobnosť výhry jackpotu v oboch ťahoch za 30 rokov je rovnaká ako pravdepodobnosť, že hráč vyhrá aspoň raz v priebehu 1560 žrebovaní. Túto pravdepodobnosť môžeme vypočítať ako 1 mínus pravdepodobnosť, že hráč nevyhrá ani raz za 1560 pokusov.

Keďže každý týždeň hrá hráč dvakrát, pravdepodobnosť nevýhry v jednom týždni (2 žrebovania) je 1 mínus pravdepodobnosť výhry v jednom týždni.

Celková pravdepodobnosť nevýhry za 30 rokov je potom (pravdepodobnosť nevýhry v jednom týždni) umocnená na 1560.

Nech p je pravdepodobnosť výhry jackpotu v jednom ťahu, potom pravdepodobnosť nevýhry v jednom týždni je 1 − p. Takže pravdepodobnosť nevýhry za 30 rokov je (1−p)^1560.

Nakoniec môžeme vypočítať pravdepodobnosť výhry jackpotu v oboch ťahoch za 30 rokov ako 1 mínus pravdepodobnosť nevýhry za 30 rokov.

Teraz uvedieme tieto výpočty:

Pravdepodobnosť výhry jackpotu v jednom ťahu:

Pravdepodobnosť nevýhry v jednom týždni:

Pravdepodobnosť nevýhry za 30 rokov:

Pravdepodobnosť výhry jackpotu v oboch ťahoch za 30 rokov:

Takže správna pravdepodobnosť výhry jackpotu v oboch ťahoch za 30 rokov je približne 0,000105 alebo 0,0105%. To znamená, že ani za 30 rokov takéhoto správania sa nedosahujeme dostatočne vysokú pravdepodobnosť výhry. Museli by sme žiť 8964,48 životov tak, kedy by sme tipovali 30 rokov bez prestávky, aby sme štatisticky vyhrali jedenkrát jackpot v prvom alebo druhom ťahu.

Skúška správnosti pre príklad 1:

Môžeme si vytvoriť jednoduchý PHP skript so 100000 simuláciami. Pravdepodobne dostaneme výsledok 0. Ak by sme nechali takto simulovať 10 miliónov simulácií, pravdepodobne by sme sa dopracovali k nenulovému výsledku:

<?php
// Počet simulácií
$num_simulations = 100000;

// Počet týždňov za 30 rokov
$num_weeks = 1560;

// Počet výhier jackpotu v oboch ťahoch
$jackpot_wins = 0;

// Pravdepodobnosť výhry jackpotu v jednom ťahu
$probability = 1 / 13983816;

// Simulácia
for ($i = 0; $i < $num_simulations; $i++) {
    $wins_in_week = 0;
    for ($j = 0; $j < $num_weeks; $j++) {
        // Generovanie náhodného čísla pre každý ťah
        $draw1 = mt_rand(1, 13983816);
        $draw2 = mt_rand(1, 13983816);
        // Ak hráč vyhrá jackpot v oboch ťahoch, pridajte to do počtu výhier
        if ($draw1 == 1 && $draw2 == 1) {
            $wins_in_week++;
        }
    }
    // Ak hráč vyhrá aspoň raz v priebehu 30 rokov, pridajte to do počtu výhier jackpotu v oboch ťahoch
    if ($wins_in_week > 0) {
        $jackpot_wins++;
    }
}

// Vypočítať pravdepodobnosť výhry jackpotu v oboch ťahoch za 30 rokov
$probability_of_winning = $jackpot_wins / $num_simulations;

// Zobraziť výslednú pravdepodobnosť
echo "Pravdepodobnosť výhry jackpotu v oboch ťahoch za 30 rokov: " . $probability_of_winning;
?>

V tomto článku sa pozrieme na pravdepodobnostný pohľad na tipovanie zápasov. Vytvoríme si pár fiktívnych príkladov, ktoré simulujú rôzne možnosti.

Príklad 1:

Ak tipujeme 12 zápasov, ktoré sa môže skončiť troma možnými výsledkami, aká je pravdepodobnosť, že všetkých 12 zápasov budeme tipovať správne? Predpokladajme, že tipujeme iba výhru, prehru, alebo remízu. A predpokladajme, že všetky tri výsledky pri každom zápase majú rovnakú pravdepodobnosť, resp. o zápasoch nevieme vopred nič a teda nemáme žiadnu preferenciu.

Riešenie:

Ak tipujeme 12 zápasov a každý z nich má tri možné výsledky (výhra, prehra, remíza), potom celkový počet možných kombinácií výsledkov je (3^12), pretože pre každý zápas máme tri možnosti a nezáleží na tom, aký výsledok bude v iných zápasoch.

Ak chceme tipnúť všetkých 12 zápasov správne, existuje iba jedna možná kombinácia výsledkov z tých (3^12) možných kombinácií.

Takže pravdepodobnosť, že tipneme správne všetkých 12 zápasov, je 1 ku 531 441.

Príklad 2:

Predpokladajme, že tipujeme 12 zápasov. Pre zjednodušenie zápisu predpokladajme, že v každom zápase tipujeme výhru domáceho tímu a že sa zápasy môžu skončiť výhrou, prehrou, alebo remízou. V každom zápase je pravdepodobnosť výhry domáceho tímu 0,75. Pravdepodobnosť remízy je 0,10 a pravdepodobnosť prehry domáceho tímu je 0,15. Aká je pravdepodobnosť toho, že budeme každý zápas tipovať správne a teda že domáci tím vyhrá v každom z tipovaných zápasov?

Riešenie:

Ak predpokladáme, že v každom zápase tipujeme výhru domáceho tímu, potom pravdepodobnosť, že tipujeme správne výsledok každého zápasu, je 0,75.

Pre každý zápas existujú tri možné výsledky: výhra domáceho tímu, remíza alebo prehra domáceho tímu. Ak tipujeme iba výhru domáceho tímu, pravdepodobnosť správneho tipu je 0,75 a pravdepodobnosť nesprávneho tipu (remíza alebo prehra domáceho tímu) je (1 – 0,75 = 0,25).

Keďže máme 12 zápasov, kde tipujeme výhru domáceho tímu v každom zápase, môžeme túto pravdepodobnosť umocniť na 12:

0,75^12 = 0,031

Takže pravdepodobnosť, že tipujeme správne výhru domáceho tímu vo všetkých 12 zápasoch, je približne 0,031 alebo 3,1%.

Ponúka sa nám ale nasledovná otázka, aj keď pripustíme takto pozitívny scenár:

Aký výsledný kurz potrebujeme pri takomto tipovaní, aby sme z dlhodobého hľadiska boli úspešní?

Odpoveď:

Aby sme z dlhodobého hľadiska boli úspešní, musíme dosiahnuť výhodný pomerný kurz, ktorý zohľadňuje pravdepodobnosť úspechu našich tipovaní.

Máme pravdepodobnosť úspechu 0,031 (alebo 3,1) pri každom zápase. Ak chceme byť na nule v dlhodobom horizonte (t.j., dosiahnuť tzv. „break-even“ situáciu), musí byť očakávaný zisk rovný nule. V tomto prípade to znamená, že suma výhier musí byť rovnaká ako suma strát.

Predpokladajme, že kurz (odds) za každý tipovaný zápas je x. Ak vyhráme, dostaneme našu stávku násobenú kurzom, ale ak prehráme, strácame našu stávku. Takže matematicky môžeme povedať, že:

Zisk = (Počet zápasov * Pravdepodobnosť úspechu * x) – (Počet zápasov * Pravdepodobnosť neúspechu * 1)

Ak chceme, aby bol náš zisk rovný nule, môžeme rovnicu upraviť:

0 = (Počet zápasov * 0,03167 * x) – (Počet zápasov* 0,9683)

Riešením tejto rovnice pre x nám dá výsledný kurz, pri ktorom sme dlhodobo na nule. Tento kurz by mal byť v tomto prípade 30,6 , aby sme dosiahli nulu v dlhodobom horizonte.

Je dôležité si všimnúť, že reálne kurzy ponúkané stávkovými spoločnosťami bývajú nižšie, aby sa zabezpečil zisk pre stávkovú spoločnosť. Preto je dosiahnutie break-even situácie ťažšie, ako by sa mohlo zdať na prvý pohľad.

Táto téma vyžaduje dávku predstavivosti a zároveň vyžaduje nutnosť opustiť bežné predstavy o nemennosti cien v priebehu krátkeho obdobia, čo je pre väčšinu ľudí nesmierne náročné.

Máme nasledovný problém:

Pravdepodobnosť toho, že mena A sa zhodnotí oproti mene B o 20% v priebehu jedného roka je 0,05. Ak uvažujeme, že táto pravdepodobnosť sa v čase nemení, aká je pravdepodobnosť toho, že mena A sa zhodnotí oproti mene B o 80% za nasledujúce 4 roky?

Riešenie:

Pre výpočet pravdepodobnosti toho, že mena A sa zhodnotí oproti mene B o 80% za nasledujúce 4 roky, môžeme využiť komplementárnu pravdepodobnosť, že sa to nestane. Pravdepodobnosť, že sa mena A nezhodnotí oproti mene B o viac ako 80% v priebehu jedného roka, je 1 – 0,05 = 0,95. Ak uvažujeme nezávislosť jednotlivých rokov, pravdepodobnosť, že mena A sa nezhodnotí oproti mene B o viac ako 80% v priebehu štyroch rokov, je:

0,95^4 ≈ 0,8145

Teda pravdepodobnosť toho, že mena A sa zhodnotí oproti mene B o 80% za nasledujúce 4 roky, je približne 1 – 0,8145 = 0,1855 , čo je 18,55%.

Praktické využitie:

Predpokladajme, že mena A sa znehodnotila oproti mene B o 80%. Ak bol výmenný kurz pred znehodnotením 1:1 , aký bude výmenný kurz týchto mien po znehodnotení?

Keď mena A oslabí o 80% oproti mene B, znamená to, že za jednu jednotku meny A bude možné získať len 20% hodnoty meny B, ktorú by sme získali pred znehodnotením.

Pred znehodnotením bol výmenný kurz 1:1, čo znamená, že za jednu jednotku meny A sme získali jednu jednotku meny B.

Po znehodnotení o 80% však za jednu jednotku meny A budeme získavať len 20% z hodnoty meny B, takže nový výmenný kurz bude 1:0.20, čo je ekvivalentné 5:1.

Takže nový výmenný kurz po znehodnotení bude 5:1.

Skúška správnosti:

Môžeme si toto tvrdenie overiť pomocou PHP skriptu:

<?php
// Počet simulácií
$num_simulations = 100000;

// Počet rokov
$num_years = 4;

// Pravdepodobnosť znehodnotenia meny A oproti mene B o 20% v priebehu jedného roka
$probability_a_depreciation = 0.05;

// Počet simulácií, kedy sa mena A nezhodnotí oproti mene B o viac ako 80% v priebehu 4 rokov
$successful_simulations = 0;

// Simulácia
for ($i = 0; $i < $num_simulations; $i++) {
    // Kontrola, či sa mena A nezhodnotí oproti mene B o viac ako 80% v priebehu 4 rokov
    $depreciation_count = 0;
    for ($j = 0; $j < $num_years; $j++) {
        // Generovanie náhodného čísla s pravdepodobnosťou znehodnotenia meny A oproti mene B
        $random_number = mt_rand() / mt_getrandmax();
        if ($random_number < $probability_a_depreciation) {
            $depreciation_count++;
        }
    }
    // Ak sa mena A nezhodnotí oproti mene B o viac ako 80% v priebehu 4 rokov, zvýšime počet úspešných simulácií
    if ($depreciation_count == 0) {
        $successful_simulations++;
    }
}

// Výpočet percentuálneho podielu úspešných simulácií
$success_rate = ($successful_simulations / $num_simulations) * 100;

// Výstup
echo "Percento neúspešných simulácií (kedy mena A nezhodnotí oproti mene B o viac ako 80% v priebehu 4 rokov): " . number_format($success_rate, 2) . "%\n";
?>

V tomto článku sa pozrieme na to, ako vyrátať pravdepodobnosť nejakej fiktívnej udalosti, v tomto prípade pádu stromu. Rovnaký postup môžme aplikovať aj na výpočet pravdepodobnosti dopravnej nehody a podobne.

Problém:

Predpokladajme, že pravdepodobnosť pádu stromu je v priebehu obdobia jedného roka 1:25. Pre zjednodušenie uvažujme, že pravdepodobnosť pádu jedného stromu nezvyšuje pravdepodobnosť pádu iného stromu. V okolí máme 15 stromov s rovnakou pravdepodobnosťou pádu. Aká je pravdepodobnosť, že v období 10 rokov spadne aspoň 1 strom?

Riešenie:

Pravdepodobnosť, že aspoň 1 strom spadne v priebehu jedného roka je:

P(aspoň 1 strom spadne v roku) = 1 − ( 1 − 1/25 ) ^ 15

Potom pravdepodobnosť, že aspoň 1 strom spadne v priebehu 10 rokov je:

P(aspoň 1 strom spadne v 10 rokoch) = 1 − ( 1 − P(aspoň 1 strom spadne v roku) ) ^ 10

Teraz môžeme doplniť hodnoty a vypočítať:

P(aspoň 1 strom spadne v roku) = 1 − ( 1 − 1/25 ) ^ 15 ≈ 0,4579

P(aspoň 1 strom spadne v 10 rokoch) = 1 − ( 1 − 0,4579) ^ 10 ≈ 0,9978

Takže pravdepodobnosť, že aspoň 1 strom spadne v priebehu 10 rokov, je približne 0,9978 , čo je takmer 100%.

Skúška správnosti:

Môžeme si nasimulovať napr. 100000 simulácií so stanovenými pravdepodobnosťami v jazyku PHP:

<?php
// Počet simulácií
$simulations = 100000;

// Počet rokov
$years = 10;

// Počet stromov
$trees = 15;

// Počet simulácií, kde spadne aspoň 1 strom
$atLeastOneFallen = 0;

// Simulácia
for ($i = 0; $i < $simulations; $i++) {
    $fallenTrees = 0;
    for ($j = 0; $j < $years; $j++) {
        // Generovanie náhodného čísla s rozsahom 1 až 25 pre každý strom
        for ($k = 0; $k < $trees; $k++) {
            $random = mt_rand(1, 25);
            // Ak je náhodné číslo rovné 1, strom spadne
            if ($random === 1) {
                $fallenTrees++;
                break; // Ak už jeden strom spadol, môžeme skončiť simuláciu pre túto ročnú periódou
            }
        }
    }
    // Ak spadol aspoň jeden strom v priebehu 10 rokov, zvýšime počítadlo
    if ($fallenTrees > 0) {
        $atLeastOneFallen++;
    }
}

// Vypočítanie pravdepodobnosti
$probability = $atLeastOneFallen / $simulations;

// Výpis výsledku
echo "Pravdepodobnosť, že v období $years rokov spadne aspoň 1 strom: " . number_format($probability * 100, 2) . "%";
?>

V tomto krátkom článku sa pozrieme na to, ako ľudia podceňujú možnosť krachu ktorejkoľvek firmy. Neriešim konkrétny problém s existujúcou firmou, ale iba fiktívny prípad.

Otázka:

Predpokladajme nasledovné: Firma ABC má pravdepodobnosť krachu v období ďalšieho roka 1 ku 150. Táto pravdepodobnosť sa s časom nemení a teda je pre každý ďalší rok rovnaká. Aká je pravdepodobnosť, že firma ABC skrachuje kedykoľvek v priebehu nasledujúcich 15 rokov?

Riešenie:

Ak pravdepodobnosť krachu firmy ABC v období jedného roka je 1 ku 150 a táto pravdepodobnosť sa s časom nemení, potom pravdepodobnosť, že firma ABC skrachuje kedykoľvek v priebehu nasledujúcich 15 rokov, je 1 mínus pravdepodobnosť, že firma ABC neprežije 15 rokov bez krachu.

Pravdepodobnosť, že firma neprežije 15 rokov bez krachu, je:

1 – ( 1 – 1/150) ^ 15

≈ 1 − ( 1 − 0,00667 ) ^ 15

≈ 1 − ( 0,99333 ) ^ 15

≈ 1 − 0,90453

≈ 0,0955

Takže pravdepodobnosť, že firma ABC skrachuje kedykoľvek v priebehu nasledujúcich 15 rokov, je približne 0.0955, čo je približne 9.5%.

Záver:

Aj keď je riziko krachu firmy ABC na prvý pohľad nízke, v priebehu 15 rokov neprežije až v 9.5% prípadov. Otázka potom znie: Je vhodné investovať do firmy, ktorá má takú vysokú mieru rizika krachu? Resp. ma napadá iná otázka: Nie je lepšie si vsadiť na to, že takáto firma zbankrotuje?

Skúška správnosti:

Na overenie môžeme použiť simulácie napr. v jazyku PHP:

<?php
// Počet simulácií
$simulations = 100000;

// Počet rokov
$years = 15;

// Počet simulácií, kde firma skrachuje
$bankruptCount = 0;

// Simulácia
for ($i = 0; $i < $simulations; $i++) {
    $bankrupt = false;
    for ($j = 0; $j < $years; $j++) {
        // Generovanie náhodného čísla s rozsahom 1 až 150
        $random = mt_rand(1, 150);
        // Ak je náhodné číslo rovné 1, firma skrachuje
        if ($random === 1) {
            $bankrupt = true;
            break;
        }
    }
    // Ak firma skrachuje v niektorej z rokov, zvýšime počítadlo
    if ($bankrupt) {
        $bankruptCount++;
    }
}

// Vypočítanie pravdepodobnosti
$probability = $bankruptCount / $simulations;

// Výpis výsledku
echo "Pravdepodobnosť, že firma ABC skrachuje kedykoľvek v priebehu nasledujúcich $years rokov: " . number_format($probability * 100, 2) . "%";
?>