Aká je pravdepodobnosť výhry v hre Loto

V minulosti som na tipujeme.org ponúkal viacero nástrojov vrátane nástrojov na výpočet pravdepodobností rôznych výhier. Väčšina tipujúcich si ale nebola ochotná priznať, že pravdepodobnosť výhry v hre Loto je tak nízka, že sa neoplatí túto hru hrať. Z dlhodobého hľadiska sú tieto pravdepodobnosti proti tipujúcim a tipujúci nutne skončí v strate. Aby som tento problém vysvetlil, uvediem zopár príkladov.

Príklad 1

Predpokladajme, že tipujúci tipuje vždy 1 stĺpec a že týždenne sa konajú 2 žrebovania. Zaujíma nás, aká je pravdepodobnosť výhry jackpotu v prvom alebo v druhom ťahu hry Loto za 30 rokov takéhoto tipovania.

Riešenie príkladu 1:

Pre výpočet pravdepodobnosti výhry jackpotu v prvom alebo v druhom ťahu hry Loto za 30 rokov, najprv potrebujeme vypočítať pravdepodobnosť výhry jackpotu v každom ťahu.

V hre Loto je celkovo 49 čísel a hráč tipuje 1 stĺpec z týchto čísel. Pre výhru jackpotu musí hráč uhádnuť všetkých 6 vyžrebovaných čísel.

Pravdepodobnosť výberu 6 správnych čísel z 49 je kombinačným číslom, ktoré môžeme vypočítať vzorcom pre kombinácie bez opakovania:

Kombinačné číslo bez opakovania je definované ako:

kde n je počet prvkov celkového súboru (49 čísel) a k je počet prvkov výberu (6 správnych čísel).

Pre každý ťah je táto pravdepodobnosť rovnaká.

Po výpočte pravdepodobnosti výhry jackpotu v jednom ťahu, môžeme vypočítať pravdepodobnosť výhry jackpotu v oboch ťahoch v priebehu 30 rokov. Keďže sa každý týždeň konajú 2 žrebovania, v jednom roku je 52 týždňov, teda za 30 rokov to bude 1560 žrebovaní.

Pravdepodobnosť výhry jackpotu v oboch ťahoch za 30 rokov je rovnaká ako pravdepodobnosť, že hráč vyhrá aspoň raz v priebehu 1560 žrebovaní. Túto pravdepodobnosť môžeme vypočítať ako 1 mínus pravdepodobnosť, že hráč nevyhrá ani raz za 1560 pokusov.

Keďže každý týždeň hrá hráč dvakrát, pravdepodobnosť nevýhry v jednom týždni (2 žrebovania) je 1 mínus pravdepodobnosť výhry v jednom týždni.

Celková pravdepodobnosť nevýhry za 30 rokov je potom (pravdepodobnosť nevýhry v jednom týždni) umocnená na 1560.

Nech p je pravdepodobnosť výhry jackpotu v jednom ťahu, potom pravdepodobnosť nevýhry v jednom týždni je 1 − p. Takže pravdepodobnosť nevýhry za 30 rokov je (1−p)^1560.

Nakoniec môžeme vypočítať pravdepodobnosť výhry jackpotu v oboch ťahoch za 30 rokov ako 1 mínus pravdepodobnosť nevýhry za 30 rokov.

Teraz uvedieme tieto výpočty:

Pravdepodobnosť výhry jackpotu v jednom ťahu:

Pravdepodobnosť nevýhry v jednom týždni:

Pravdepodobnosť nevýhry za 30 rokov:

Pravdepodobnosť výhry jackpotu v oboch ťahoch za 30 rokov:

Takže správna pravdepodobnosť výhry jackpotu v oboch ťahoch za 30 rokov je približne 0,000105 alebo 0,0105%. To znamená, že ani za 30 rokov takéhoto správania sa nedosahujeme dostatočne vysokú pravdepodobnosť výhry. Museli by sme žiť 8964,48 životov tak, kedy by sme tipovali 30 rokov bez prestávky, aby sme štatisticky vyhrali jedenkrát jackpot v prvom alebo druhom ťahu.

Skúška správnosti pre príklad 1:

Môžeme si vytvoriť jednoduchý PHP skript so 100000 simuláciami. Pravdepodobne dostaneme výsledok 0. Ak by sme nechali takto simulovať 10 miliónov simulácií, pravdepodobne by sme sa dopracovali k nenulovému výsledku:

<?php
// Počet simulácií
$num_simulations = 100000;

// Počet týždňov za 30 rokov
$num_weeks = 1560;

// Počet výhier jackpotu v oboch ťahoch
$jackpot_wins = 0;

// Pravdepodobnosť výhry jackpotu v jednom ťahu
$probability = 1 / 13983816;

// Simulácia
for ($i = 0; $i < $num_simulations; $i++) {
    $wins_in_week = 0;
    for ($j = 0; $j < $num_weeks; $j++) {
        // Generovanie náhodného čísla pre každý ťah
        $draw1 = mt_rand(1, 13983816);
        $draw2 = mt_rand(1, 13983816);
        // Ak hráč vyhrá jackpot v oboch ťahoch, pridajte to do počtu výhier
        if ($draw1 == 1 && $draw2 == 1) {
            $wins_in_week++;
        }
    }
    // Ak hráč vyhrá aspoň raz v priebehu 30 rokov, pridajte to do počtu výhier jackpotu v oboch ťahoch
    if ($wins_in_week > 0) {
        $jackpot_wins++;
    }
}

// Vypočítať pravdepodobnosť výhry jackpotu v oboch ťahoch za 30 rokov
$probability_of_winning = $jackpot_wins / $num_simulations;

// Zobraziť výslednú pravdepodobnosť
echo "Pravdepodobnosť výhry jackpotu v oboch ťahoch za 30 rokov: " . $probability_of_winning;
?>